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正方形ABCD上做外接圆K,P是K上的任意一点,求证明K到ABCD的四条线段中,至少一条的长度为无理数.
更新时间:2024-04-28 06:44:19
1人问答
问题描述:

正方形ABCD上做外接圆K,P是K上的任意一点,求证明K到ABCD的四条线段中,至少一条的长度为无理数.

蒋海军回答:
  假设四条线段长度都是有理数,那么,   PA^2+PC^2=PB^2+PD^2(对角线是直径)=2*AB^2,因为左边是有理数,所以边长和对角线平方都是有理数.   又由余弦定理,知cosAPB,BPC,CPD,DPA,都是有理数.而由那什么圆内的正弦定理,忘了名字,就是sin角度*直径=所对弦长,知这四个角正弦相等,为sqrt2/2.然后矛盾就出现了.正弦是sqrt2/2,余弦却是有理数,显然矛盾.
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