（2014•吉安二模）设函数f（x）=lnx+ex，g（x）=ex+12x2-ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）

（1）若F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的单调区间；

（2）定义：若函数φ（x）在定义域为[m，n]（m＜n）上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]为函数φ（x）的“同域区间”，当a=32时，函数F（x）在区间（0，2）内是否存在“同域区间”？请说明理由；

（3）当a＞1时，对于区间（2，3）内任意两个不相等的实数x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|＞|g（x1）-g（x2）|成立，求a的取值范围．