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求微分方程dy/dx=y/(x+y^4)的通解
更新时间:2024-04-27 20:55:18
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问题描述:

求微分方程dy/dx=y/(x+y^4)的通解

蒋玉石回答:
  ∵令t=lny,则y=e^t,dy=e^tdt   ∴代入原方程得   dy/dx=y/(x+y^4)   ==>ydx/dy=(x+y^4)   ==>e^tdx/(e^tdt)=(x+e^(4t))   ==>dx/dt=x+e^(4t).(1)   ∵很容易求出齐次方程dx/dt=x的通解是   x=Ce^t(C是积分常数)   ∴根据常数变易法,设方程(1)的解为x=C(t)e^t(C(t)是关于t的函数)   ∵代入方程(1)得   C'(t)e^t+C(t)e^t=C(t)e^t+e^(4t)   ==>C'(t)e^t=e^(4t)   ==>C'(t)=e^(3t)   ==>C(t)=e^(3t)/3+C(C是积分常数)   ∴方程(1)的通解是x=(e^(3t)/3+C)e^t=e^(4t)/3+Ce^t   故原方程的通解是x=y^4/3+Cy(C是积分常数).
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