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一道有关平面向量的高一数学题O是平面上的坐标原点,A,B,C是平面上三点(不在一条直线上).且向量ab^2+向量oc^2=向量ac^2+向量ob^2=向量bc^2+向量oa^2求证o是三角形abc的垂心
更新时间:2024-04-26 06:33:16
1人问答
问题描述:

一道有关平面向量的高一数学题

O是平面上的坐标原点,A,B,C是平面上三点(不在一条直线上).

且向量ab^2+向量oc^2=向量ac^2+向量ob^2=向量bc^2+向量oa^2

求证o是三角形abc的垂心

沈家庆回答:
  由已知“AB^2+OC^2=AC^2+OB^2”   逐步化简如下:   AB^2-AC^2=OB^2-OC^2   (AB+AC)*(AB-AC)=(OB+OC)*(OB-OC)   (AB+AC)*CB=(OB+OC)*CB   (AB+AC)*CB-(OB+OC)*CB=0   (AB+AC-OB-OC)*CB=0   [(AB-OB)+(AC-OC)]*CB=0   (AO+AO)*CB=0   2AO*CB=0   得到:AO*CB=0   故AO垂直于CB   同理可得:BO垂直于AC,CO垂直于BA   故O是三角形ABC的垂心
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