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【已知A(-根号3,0)B(根号3,0)动点P满足/向量PA/+/向量PB/=4(1)求动点P的轨迹C的方程(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交与M,N两点,求向量OM乘以向量ON的取值范围】
更新时间:2024-04-25 19:54:41
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问题描述:

已知A(-根号3,0)B(根号3,0)动点P满足/向量PA/+/向量PB/=4(1)求动点P的轨迹C的方程(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交与M,N两点,求向量OM乘以向量ON的取值范围

刘彩珠回答:
  动点P满足/向量PA/+/向量PB/=4   ∴动点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆   其中2a=4,c=√3,∴a=2,b=1   ∴点P的轨迹C的方程是   x²/4+y²=1   (2)   直线l过(1,0),   l过原点时,即为x轴,与椭圆交点为左右顶点   向量OM乘以向量ON=-4   l不过原点时设方程为x=ty+1,代入x²/4+y²=1   得:(ty+1)²+4y-4=0   即(t²+4)y²+2ty-3=0   Δ>0恒成立   设M(x1,y1),N(x2,y2)   ∴y1+y2=-2t/(t²+4),y1y2=-3/(t²+4)   ∴x1x2=(ty1+1)(ty2+1)   =t²y1y2+t(y1+y2)+1   ∴向量OM乘以向量ON   =(x1,y1)●(x2,y2)   =x1x2+y1y2   =(t²+1)y1y2+t(y1+y2)+1   =-3(t²+1)/(t²+4)-2t²/(t²+4)+1   =(-4t²+1)/(t²+4)   =[-4(t²+4)+17]/(t²+4)   =-4+17/(t²+4)   ∵t²+4≥4∴0
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